Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ°, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π€Π‘Π£) ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π§Π°ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠΎ.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ», Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ² ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ°
ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ° Π€Π‘Π£ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΡΡΠ° «ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°» Π·Π° 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ 7 ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ».
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΡΠ±Π° ΡΡΠΌΠΌΡ: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΡΠ±Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²: a 2 — b 2 = a — b a + b
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
- ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ²: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2
ΠΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a, b, c Π² Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π½Π°ΠΈΠ·ΡΡΡΡ. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΎΠ±Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠ°ΠΌΠΊΠΎΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π¨Π΅ΡΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ.
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΡΡΠΎΠΌ 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π°ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π€Π‘Π£ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ».
ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
a + b n = C n 0 Β· a n + C n 1 Β· a n — 1 Β· b + C n 2 Β· a n — 2 Β· b 2 + . . + C n n — 1 Β· a Β· b n — 1 + C n n Β· b n
ΠΠ΄Π΅ΡΡ C n k — Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ n Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
C n k = n ! k ! Β· ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π€Π‘Π£ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΈ ΠΊΡΠ±Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ — ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈ n=2 ΠΈ n=3ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠΎ ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π°? ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ΅Ρ , ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ? ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ n ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ n-ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ .
a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1
ΠΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ 2m:
a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2
ΠΠ»Ρ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ 2m+1:
a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Π»ΠΈΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ n = 2 ΠΈ n = 3 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² b ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° — b .
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ?
ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». Π£Π΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ: ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΎΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . ΠΡΠ± ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . ΠΡΠ± ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΡΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅, ΠΏΠ»ΡΡ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΡΠ± Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° a 2 — b 2 = a — b a + b (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ²) ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° a 2 + a b + b 2 ΠΈ a 2 — a b + b 2 Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π€Π‘Π£
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π€Π‘Π£ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ .
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ.
a — b 2 = a — b a — b .
a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°. ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π€Π‘Π£ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€Π‘Π£
Π¦Π΅Π»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — Π±ΡΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€Π‘Π£. ΠΠ½ΠΈ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2
Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ — ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΎΠ², Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ — ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ².
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .
Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π€Π‘Π£ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ — ΡΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 79 . ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .
ΠΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ — Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π΄Π²ΡΡΠ»Π΅Π½Π°. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 4 x 2 + 4 x — 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄ 2 x 2 + 2 Β· 2 Β· x Β· 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ
ΠΠ½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ Π½ΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ MathML β ΠΎΠ½ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΉ, Π½Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΉ, ΠΈΠ·Π±ΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠ½ΡΡ. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π² Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΈ Π²Ρ Π²ΠΎΠ·Π½Π΅Π½Π°Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ MathML. ΠΠΎΡ ΡΠΎ Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΎ TEX, ΡΡΠ°ΡΠΈΠ½Π° ΠΠ½ΡΡ Π·Π½Π°Π» ΡΠ²ΠΎΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°Π» ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π±Ρ, Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ TEX ΡΡΠ°Π» ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠΎΠΌ Π΄Π΅-ΡΠ°ΠΊΡΠΎ Π² Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ Ρ HTML ΠΈ CSS, ΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² TEX Π½Π΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π°, ΠΎΠ½ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π½ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ, Π² ΡΡΠΌ-ΡΠΎ ΡΡ ΠΎΠΆΠΈΠΉ Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ·ΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ°Π²Π΄Π°, ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½Π° ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π»Π°ΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π±ΡΠ°ΡΠ·Π΅ΡΠ°Ρ . Π‘Π°ΠΌΡΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΊ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΡ, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠ΄ΡΡ ΡΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
Π Π΅Π΄Π°ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ LaTEX
ΠΡΡΡΠ΅ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΌΠΈΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ°, Π±Π»Π°Π³ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ LaTEX β ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ TEX Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠΎΠΌ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°Π±ΡΠ°Π½Π°, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π°ΠΆΠ°Π² Π½Π° ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ Β«Render EquationΒ» (ΡΠΈΡ. 1).
Π ΠΈΡ. 1. ΠΠΈΠ΄ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅Π³ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 1.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ TEX Π²ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π°Π΄ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°.
- tiny (ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ 8pt)
- small (10pt)
- normal (12pt)
- large (14pt)
- huge (20pt)
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ (ΡΠΈΡ. 2).
Π ΠΈΡ. 2. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅
Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΡΠ³Π» ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π» ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΡΠ΄ΡΠ±Π° Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΠΈ ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ.
ΠΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏ Π²ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ°. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π³ ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°Π΄ΡΠ΅ΡΠ° ΡΡΡΠ»Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ ΠΡΠ³Π»Π° ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΌ Π΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ TEX. Π‘Π°ΠΌ Π°Π΄ΡΠ΅Ρ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 2 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ tiny, large ΠΈ Π΄Ρ., Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π£ ΠΡΠ³Π»Π°, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, Π΅ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ, Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΅Ρ Π°Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π°Π΄ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ chs=<ΡΠΈΡΠΈΠ½Π°>x<Π²ΡΡΠΎΡΠ°>, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ chs=200×20. Π£ΡΡΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Π·ΠΈΡΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ (chs=40) Π²ΠΎΡΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ 40 ΠΏΠΈΠΊΡΠ΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 3.
Π ΠΈΡ. 3. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ
MathJax
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π° Π²Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ², ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΡ MathJax. ΠΡΠ° Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π±ΡΠ°ΡΠ·Π΅ΡΠ°Ρ , Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΈ IE, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° iPhone, iPad ΠΈ Android, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅ΡΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π½ΠΎΡΠ°ΡΠΈΡ MathML, TEX ΠΈ AsciiMath.
ΠΠ»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ MathJax Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΅Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΉΠ»Ρ ΠΈ ΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ΅Π±Π΅ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΈ Π·Π°Π³ΡΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΊΡΠΈΠΏΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΠ»Π°Π²Π½ΡΠΉ JS-ΡΠ°ΠΉΠ» Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 50 ΠΠ±, Π½ΠΎ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΈΠΏΡΡ. Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅Π½ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ±Π°ΠΉΡ. ΠΡΠΎΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΠΉΠ»ΠΎΠ² ΠΊΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠ΅ ΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π· ΡΠ°ΠΉΠ»Ρ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π³ΡΡΠΆΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΠΎ ΡΠΌΠΎΠ»ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΠΈ $$. $$ ΠΈ [. ], Π° ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· (. ) (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ MathJax
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4.
Π ΠΈΡ. 4. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ»ΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΎΡΠΊΡΠΎΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ TEX ΠΈΠ»ΠΈ MathML (ΡΠΈΡ. 5).